Коту Тимофею НЕ МЕНЬШЕ десяти лет. — прилагательное в сравнительной степени; НЕ пишется раздельно. С формами сравнительной степени (не меньше, не больше, не хуже, не лучше) НЕ обычно пишется раздельно.
Воздух, ещё НЕ СТАВШИЙ знойным, приятно освежает. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимое слово знойным, а сочетание ещё не ставший подчёркивает незавершённость действия. В теории приведена аналогичная модель: ещё не написанное сочинение.
НЕ СУЛИ журавля в небе, дай синицу в руки. — глагол; НЕ пишется раздельно, так как глагол сулить употребляется без НЕ. С глаголами НЕ обычно пишется раздельно.
У Насти были НЕПРАВИЛЬНЫЕ, но приятные черты лица. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать близкий по смыслу синоним без НЕ — «несовершенные», «искажённые». Союз но не создаёт противопоставления: признаки неправильные и приятные совместимы. При противопоставлении с но НЕ может писаться слитно.
Сначала все помолчали, обдумывая, как начать разговор в такой НЕПРИВЫЧНОЙ обстановке. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «необычной». Противопоставления и слов, усиливающих отрицание, нет.