Его ответ был НЕПОЛНЫМ, но оригинальным. — прилагательное; НЕ пишется слитно, так как можно подобрать синоним без НЕ — «частичным». Союз но не создаёт противопоставления: признаки неполный и оригинальный совместимы.
Пение красногрудых снегирей, НЕ ЛИШЁННОЕ какой-то приятной мелодии, раздавалось с оголённых веток сада. — полное причастие; НЕ пишется раздельно, так как при причастии есть зависимые слова какой-то приятной мелодии (не лишённое чего? мелодии).
Я ехал НЕ СПЕША и вдруг увидел на дороге грачей. — деепричастие; НЕ пишется раздельно, так как с деепричастиями НЕ обычно пишется раздельно, а слово спеша употребляется без НЕ.
Спасение пришло неожиданно и именно в тот момент, когда казалось, что помощи ждать НЕОТКУДА. — отрицательное наречие; НЕ пишется слитно, так как отрицательные наречия без предлога пишутся с НЕ слитно: негде, некуда, незачем, неоткуда.
Бим НЕ СРАЗУ понял, что с ним произошло. — наречие; НЕ пишется раздельно, так как слово сразу не относится к наречиям на -о/-е, образующим с НЕ новое слово.