Задание 21 ЕГЭ по базовой математике

34;51

Пусть $x$ — число верных ответов, $y$ — число неверных ответов, $z$ — число пропущенных вопросов.
Тогда:
$x + y + z = 70$,
$9x - 17y = 153$.
Из второго уравнения выразим $x$:
$9x = 153 + 17y$,
$x = \dfrac{153 + 17y}{9}$.
Так как $x$ — целое число, $153 + 17y$ должно делиться на $9$.
$153$ делится на $9$ ($153 = 9 \cdot 17$), значит $17y$ должно делиться на $9$. Так как $17$ не кратно $9$, то $y$ должно быть кратно $9$.
Так как $y \ge 1$, $z \ge 1$, и $x + y \le 70$, проверим возможные $y$:
- $y = 9$: $x = \dfrac{153 + 153}{9} = \dfrac{306}{9} = 34$. Тогда $z = 70 - 34 - 9 = 27$. Всё подходит.
- $y = 18$: $x = \dfrac{153 + 306}{9} = \dfrac{459}{9} = 51$. Тогда $z = 70 - 51 - 18 = 1$. Всё подходит.
- $y = 27$: $x = \dfrac{153 + 459}{9} = \dfrac{612}{9} = 68$. Тогда $z = 70 - 68 - 27 = -25$ — не подходит.
- $y = 36$: $x = \dfrac{153 + 612}{9} = \dfrac{765}{9} = 85 > 70$ — не подходит.
Значит, возможны два варианта: $x = 34$ (при $y = 9$) и $x = 51$ (при $y = 18$).
Ответ: $34$ верных ответа (или $51$ — в зависимости от трактовки).