Задание 21 ЕГЭ по базовой математике

15

Пусть $r$ — число рыжиков, $g$ — число груздей.
Тогда $r + g = 25$.
Условие "среди любых $11$ грибов есть хотя бы один рыжик" означает, что нельзя выбрать $11$ грибов без рыжика, то есть груздей меньше $11$:
$g \le 10$.
Условие "среди любых $16$ грибов есть хотя бы один груздь" означает, что нельзя выбрать $16$ грибов без груздя, то есть рыжиков меньше $16$:
$r \le 15$.
Так как $r + g = 25$, то:
$r \le 15$ и $g \le 10$.
Проверим возможные значения:
Если $g = 10$, то $r = 15$. Проверим:
- Среди любых $11$ грибов: если взять все $10$ груздей и $1$ рыжик, то рыжик есть. Если взять $11$ груздей — нельзя, так как их всего $10$. Значит, условие выполняется.
- Среди любых $16$ грибов: если взять $16$ рыжиков — нельзя, так как их всего $15$. Значит, в любых $16$ грибах обязательно будет груздь. Условие выполняется.
Если $g < 10$, то $r > 15$, но тогда можно выбрать $16$ рыжиков, что нарушит второе условие. Значит, $g$ не может быть меньше $10$.
Таким образом, $g = 10$, значит $r = 15$.
Ответ: $15$ рыжиков.