Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $T_n = 25^\circ C$, через радиатор отопления пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0{,}5 \, \text{кг/с}$. Проходя по трубе расстояние $x$, вода охлаждается от начальной температуры $T_b = 81^\circ C$ до температуры $T$, причём $x = \alpha \frac{cm}{\gamma} \log_2 \frac{T_b - T_n}{T - T_n},$ где $c = 4200 \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\text{кг} \cdot ^\circ \text{C}}$ — теплоёмкость воды, $\gamma = 42 \frac{\text{Вт}}{\text{м} \cdot ^\circ \text{C}}$ — коэффициент теплообмена, $\alpha = 1{,}1$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна $110$ м.

Accepted Answer

Подставляем известные значения в формулу:
$110 = 1{,}1 \cdot \dfrac{4200 \cdot 0{,}5}{42} \cdot \log_2 \dfrac{81 - 25}{T - 25}$
Вычисляем коэффициент:
$\dfrac{4200 \cdot 0{,}5}{42} = \dfrac{2100}{42} = 50$.
Тогда:
$110 = 1{,}1 \cdot 50 \cdot \log_2 \dfrac{56}{T - 25}$
$110 = 55 \cdot \log_2 \dfrac{56}{T - 25}$
Делим обе части на $55$:
$2 = \log_2 \dfrac{56}{T - 25}$
Отсюда:
$\dfrac{56}{T - 25} = 2^2 = 4$
Решаем уравнение:
$56 = 4(T - 25)$
$56 = 4T - 100$
$156 = 4T$
$T = 39$
Ответ: $39$.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Логарифмическая зависимость