Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

350

Объём воды пропорционален высоте столба, поэтому $H(t) = \dfrac{1}{4}H_0$.
Подставляем значения:
$\dfrac{1}{4} \cdot 5 = 5 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 5} \cdot \dfrac{1}{700}t + \dfrac{10}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{700}\right)^2 t^2$
$1{,}25 = 5 - \sqrt{100} \cdot \dfrac{1}{700}t + 5 \cdot \dfrac{1}{490\,000}t^2$
$1{,}25 = 5 - 10 \cdot \dfrac{1}{700}t + \dfrac{5}{490\,000}t^2$
$1{,}25 = 5 - \dfrac{1}{70}t + \dfrac{1}{98\,000}t^2$
Переносим всё в левую часть:
$0 = 5 - 1{,}25 - \dfrac{1}{70}t + \dfrac{1}{98\,000}t^2$
$0 = 3{,}75 - \dfrac{1}{70}t + \dfrac{1}{98\,000}t^2$
Умножаем на $98\,000$:
$0 = 367\,500 - 1\,400t + t^2$
$t^2 - 1\,400t + 367\,500 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 1\,400^2 - 4 \cdot 367\,500 = 1\,960\,000 - 1\,470\,000 = 490\,000$
$\sqrt{D} = 700$
$t = \dfrac{1\,400 \pm 700}{2}$
$t_1 = \dfrac{1\,400 - 700}{2} = 350, \quad t_2 = \dfrac{1\,400 + 700}{2} = 1\,050$
Так как вода вытекает, высота уменьшается, и нам нужно меньшее время (первое достижение четверти объёма):
$t = 350$
Ответ: $350$.