Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

200

Объём воды пропорционален высоте столба, поэтому $H(t) = \dfrac{1}{4}H_0$.
Подставляем значения:
$\dfrac{1}{4} \cdot 20 = 20 - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 20} \cdot \dfrac{1}{200}t + \dfrac{10}{2} \cdot \left(\dfrac{1}{200}\right)^2 t^2$
$5 = 20 - \sqrt{400} \cdot \dfrac{1}{200}t + 5 \cdot \dfrac{1}{40\,000}t^2$
$5 = 20 - 20 \cdot \dfrac{1}{200}t + \dfrac{5}{40\,000}t^2$
$5 = 20 - \dfrac{1}{10}t + \dfrac{1}{8\,000}t^2$
Переносим всё в левую часть:
$0 = 20 - 5 - \dfrac{1}{10}t + \dfrac{1}{8\,000}t^2$
$0 = 15 - \dfrac{1}{10}t + \dfrac{1}{8\,000}t^2$
Умножаем на $8\,000$:
$0 = 120\,000 - 800t + t^2$
$t^2 - 800t + 120\,000 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 800^2 - 4 \cdot 120\,000 = 640\,000 - 480\,000 = 160\,000$
$\sqrt{D} = 400$
$t = \dfrac{800 \pm 400}{2}$
$t_1 = \dfrac{800 - 400}{2} = 200, \quad t_2 = \dfrac{800 + 400}{2} = 600$
Так как вода вытекает, высота уменьшается, и нам нужно меньшее время (первое достижение четверти объёма):
$t = 200$
Ответ: $200$.