Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0 \sin(\omega t + \varphi)$, где $t$ — время в секундах, амплитуда $U_0 = 2 \, \text{В}$, частота $\omega = 120^\circ/\text{с}$, фаза $\varphi = 45^\circ$. Датчик настроен так, что, если напряжение в нём не ниже чем $1$ В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Accepted Answer

Напряжение в датчике:
$U = 2 \sin(120^\circ t + 45^\circ)$
Лампочка горит, если $U \geq 1$:
$2 \sin(120^\circ t + 45^\circ) \geq 1$
$\sin(120^\circ t + 45^\circ) \geq \dfrac{1}{2}$
Решаем неравенство на интервале $t \in [0, 1]$. Аргумент $x = 120^\circ t + 45^\circ$ меняется от $45^\circ$ до $165^\circ$.
Синус не меньше $\dfrac{1}{2}$ при $x \in [30^\circ, 150^\circ]$, но с учётом интервала:
$45^\circ \leq x \leq 150^\circ$
Переводим в время:
$45^\circ \leq 120^\circ t + 45^\circ \leq 150^\circ$
$0 \leq 120^\circ t \leq 105^\circ$
$0 \leq t \leq \dfrac{105}{120} = 0{,}875$
Длительность горения: $0{,}875$ с.
Процент времени от первой секунды:
$0{,}875 \cdot 100\% = 87{,}5\%$
Ответ: $87{,}5$.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Квадратичная зависимость