Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

4

Из уравнения процесса $pV^a = const$ следует, что для двух состояний:
$p_1 V_1^a = p_2 V_2^a$
Объём уменьшается втрое: $V_2 = \dfrac{V_1}{3}$.
Давление увеличивается не менее чем в $81$ раз: $p_2 \geq 81 p_1$.
Подставляем:
$p_1 V_1^a = p_2 \left( \dfrac{V_1}{3} \right)^a$
$p_1 V_1^a = p_2 \cdot \dfrac{V_1^a}{3^a}$
Сокращаем $V_1^a$:
$p_1 = \dfrac{p_2}{3^a}$
$p_2 = p_1 \cdot 3^a$
Условие $p_2 \geq 81 p_1$:
$p_1 \cdot 3^a \geq 81 p_1$
$3^a \geq 81$
$3^a \geq 3^4$
$a \geq 4$
Наименьшее значение: $a = 4$.
Ответ: $4$.