Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

0,75

Из уравнения процесса $pV^a = const$ следует, что для двух состояний:
$p_1 V_1^a = p_2 V_2^a$
Объём увеличивается в $625$ раз: $V_2 = 625 V_1$.
Давление уменьшается не менее чем в $125$ раз: $p_2 \leq \dfrac{p_1}{125}$.
Подставляем:
$p_1 V_1^a = p_2 (625 V_1)^a$
$p_1 V_1^a = p_2 \cdot 625^a V_1^a$
Сокращаем $V_1^a$:
$p_1 = p_2 \cdot 625^a$
$p_2 = \dfrac{p_1}{625^a}$
Условие $p_2 \leq \dfrac{p_1}{125}$:
$\dfrac{p_1}{625^a} \leq \dfrac{p_1}{125}$
$625^a \geq 125$
Так как $625 = 5^4$, а $125 = 5^3$:
$(5^4)^a \geq 5^3$
$5^{4a} \geq 5^3$
$4a \geq 3$
$a \geq \dfrac{3}{4}$
Наименьшее значение: $a = \dfrac{3}{4}=0{,}75$.
Ответ: $0{,}75$.