Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{300} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{13}{30}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $9$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Accepted Answer

Камни должны пролетать над стеной на высоте не менее $1$ м, значит, высота камня над землёй должна быть не менее $9 + 1 = 10$ м.
Подставляем $y = 10$ в уравнение траектории:
$10 = -\dfrac{1}{300}x^2 + \dfrac{13}{30}x$
Умножаем обе части на $300$:
$3000 = -x^2 + 130x$
$x^2 - 130x + 3000 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 130^2 - 4 \cdot 3000 = 16900 - 12000 = 4900$
$\sqrt{D} = 70$
$x = \dfrac{130 \pm 70}{2}$
$x_1 = \dfrac{130 - 70}{2} = 30, \quad x_2 = \dfrac{130 + 70}{2} = 100$
Наибольшее расстояние: $x = 100$ м.
Ответ: $100$.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Квадратичная зависимость