Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой $y = ax^2 + bx$, где $a = -\dfrac{1}{140} \, \text{м}^{-1}$, $b = \dfrac{8}{7}$ — постоянные параметры, $x$ (м) — смещение камня по горизонтали, $y$ (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой $19$ м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее $1$ метра?

Accepted Answer

Камни должны пролетать над стеной на высоте не менее $1$ м, значит, высота камня над землёй должна быть не менее $19 + 1 = 20$ м.
Подставляем $y = 20$ в уравнение траектории:
$20 = -\dfrac{1}{140}x^2 + \dfrac{8}{7}x$
Умножаем обе части на $140$:
$2800 = -x^2 + 160x$
$x^2 - 160x + 2800 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$D = 160^2 - 4 \cdot 2800 = 25600 - 11200 = 14400$
$\sqrt{D} = 120$
$x = \dfrac{160 \pm 120}{2}$
$x_1 = \dfrac{160 - 120}{2} = 20, \quad x_2 = \dfrac{160 + 120}{2} = 140$
Наибольшее расстояние: $x = 140$ м.
Ответ: $140$.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Квадратичная зависимость