Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна $P = m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right)$, где $m$ — масса воды в килограммах, $v$ — скорость движения ведёрка в м/с, $L$ — длина верёвки в метрах, $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10 \, \text{м/с}^2$). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна $115{,}6$ см? Ответ дайте в м/с.

Accepted Answer

Чтобы вода не выливалась, сила давления в верхней точке должна быть неотрицательной:
$P \geq 0$
$m \left( \dfrac{v^2}{L} - g \right) \geq 0$
Так как $m > 0$, то:
$\dfrac{v^2}{L} - g \geq 0$
$\dfrac{v^2}{L} \geq g$
$v^2 \geq gL$
$v \geq \sqrt{gL}$
Переводим длину верёвки в метры:
$L = 115{,}6 \text{ см} = 1{,}156 \text{ м}$
Подставляем $g = 10 \, \text{м/с}^2$:
$v_{\min} = \sqrt{10 \cdot 1{,}156} = \sqrt{11{,}56} = 3{,}4$
Ответ: $3{,}4$.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Квадратичная зависимость