Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

135

Амплитуда превосходит $A_0$ не более чем на $56{,}25\%$, то есть:
$A(\omega) \leq A_0 + 0{,}5625 A_0 = 1{,}5625 A_0$
Подставляем формулу амплитуды:
$\dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1{,}5625 A_0$
Сокращаем $A_0$:
$\dfrac{\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1{,}5625$
Так как частота $\omega$ меньше резонансной, $\omega_p^2 - \omega^2 > 0$, и модуль можно убрать:
$\dfrac{\omega_p^2}{\omega_p^2 - \omega^2} \leq 1{,}5625$
Подставляем $\omega_p = 225$:
$\dfrac{225^2}{225^2 - \omega^2} \leq 1{,}5625$
Преобразуем:
$225^2 \leq 1{,}5625 (225^2 - \omega^2)$
$225^2 \leq 1{,}5625 \cdot 225^2 - 1{,}5625 \omega^2$
Переносим:
$1{,}5625 \omega^2 \leq 1{,}5625 \cdot 225^2 - 225^2$
$1{,}5625 \omega^2 \leq 225^2 (1{,}5625 - 1)$
$1{,}5625 \omega^2 \leq 225^2 \cdot 0{,}5625$
Вычисляем:
$\omega^2 \leq \dfrac{225^2 \cdot 0{,}5625}{1{,}5625}$
Заметим, что $0{,}5625 = \dfrac{9}{16}$, а $1{,}5625 = \dfrac{25}{16}$:
$\omega^2 \leq 225^2 \cdot \dfrac{9}{25}$
$\omega \leq 225 \cdot \dfrac{3}{5} = 135$
Максимальная частота, меньшая резонансной: $\omega = 135$.
Ответ: $135$.