Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

126

Амплитуда превосходит $A_0$ не более чем на $22{,}5\%$, то есть:
$A(\omega) \leq A_0 + 0{,}225 A_0 = 1{,}225 A_0$
Подставляем формулу амплитуды:
$\dfrac{A_0 \omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1{,}225 A_0$
Сокращаем $A_0$:
$\dfrac{\omega_p^2}{|\omega_p^2 - \omega^2|} \leq 1{,}225$
Так как частота $\omega$ меньше резонансной, $\omega_p^2 - \omega^2 > 0$, и модуль можно убрать:
$\dfrac{\omega_p^2}{\omega_p^2 - \omega^2} \leq 1{,}225$
Подставляем $\omega_p = 294$:
$\dfrac{294^2}{294^2 - \omega^2} \leq 1{,}225$
Преобразуем:
$294^2 \leq 1{,}225 (294^2 - \omega^2)$
$294^2 \leq 1{,}225 \cdot 294^2 - 1{,}225 \omega^2$
Переносим:
$1{,}225 \omega^2 \leq 1{,}225 \cdot 294^2 - 294^2$
$1{,}225 \omega^2 \leq 294^2 (1{,}225 - 1)$
$1{,}225 \omega^2 \leq 294^2 \cdot 0{,}225$
Вычисляем:
$\omega^2 \leq \dfrac{294^2 \cdot 0{,}225}{1{,}225}$
Заметим, что $0{,}225 = \dfrac{9}{40}$, а $1{,}225 = \dfrac{49}{40}$:
$\omega^2 \leq 294^2 \cdot \dfrac{9}{49}$
$\omega \leq 294 \cdot \dfrac{3}{7} = 126$
Максимальная частота, меньшая резонансной: $\omega = 126$.
Ответ: $126$.