Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{T}{\tau}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от начального момента (в мин), $T$ — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа $100$ мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $12{,}5$ мг.

Accepted Answer

Подставим значения в формулу:
$12{,}5 = 100 \cdot 2^{-\frac{t}{2}}.$
Разделим обе части на $100$:
$\dfrac{12{,}5}{100} = 2^{-\frac{t}{2}}.$
Упростим левую часть:
$\dfrac{12{,}5}{100} = \dfrac{1}{8}.$
Получаем:
$2^{-\frac{t}{2}} = \dfrac{1}{8}.$
Заметим, что $\dfrac{1}{8} = 2^{-3}$. Тогда:
$-\dfrac{t}{2} = -3.$
Отсюда:
$\dfrac{t}{2} = 3 \quad \Rightarrow \quad t = 6.$
Ответ: $6$ минут.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Показательная зависимость