Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_{0} \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_{0}$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время, прошедшее от начального момента (в мин), $T$ — период полураспада (в мин). В начальный момент времени масса изотопа $20$ мг. Период его полураспада составляет $10$ минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна $5$ мг.

Accepted Answer

Подставим значения в формулу:
$5 = 20 \cdot 2^{-\frac{T}{10}}.$
Разделим обе части на $20$:
$\dfrac{5}{20} = 2^{-\frac{T}{10}}.$
Упростим левую часть:
$\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}.$
Получаем:
$2^{-\frac{T}{10}} = \dfrac{1}{4}.$
Заметим, что $\dfrac{1}{4} = 2^{-2}$. Тогда:
$-\dfrac{T}{10} = -2.$
Отсюда:
$\dfrac{T}{10} = 2 \quad \Rightarrow \quad T = 20.$
Ответ: $20$ минут.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Показательная зависимость