Задание 5 ЕГЭ по физике

Question

Школьник прочитал в научно-популярной книге, что ускорение свободного падения на поверхности Луны в $6$ раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли, масса Земли равна $M_З = 6 \cdot 10^{24} \ кг,$ а радиус Земли примерно в $3.7$ раз больше радиуса Луны. Из приведенного ниже списка выберите все верные утверждения, относящиеся к Земле и Луне.
$1)$ Покоящееся тело массой $1\ кг$ на поверхности Луны имеет такой же вес, как и на поверхности Земли.
$2)$ Средняя плотность планеты Земля больше средней плотности Луны примерно в $1.62$ раза.
$3)$ Если бросить камень с горизонтальной площадки под одним и тем же углом к горизонту с одинаковой начальной скоростью на Земле и на Луне, то на Земле, без учета сопротивления воздуха, камень пролетит до падения в $2$ раза меньшее расстояние.
$4)$ Радиус Земли, вычисленный исходя из приведенных в научно-популярной книге сведений, примерно составляет $6\ 340\ км.$
$5)$ Масса Луны примерно в $82$ раза меньше массы Земли.

Accepted Answer

Обозначим:
$g_З$ — ускорение свободного падения на Земле,
$g_Л$ — ускорение свободного падения на Луне.
По условию: $g_Л = \dfrac{g_З}{6} .$
Масса Земли $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг.
Радиус Земли $R_З = 3.7 R_Л .$
Ускорение свободного падения на поверхности небесного тела:
$g = G \dfrac{M}{R^2},$
где $G = 6.67 \cdot 10^{-11} \, Н\cdotм^2/\text{кг}^2$ — гравитационная постоянная.
Вес тела массой $m$ на поверхности: $P = m g .$
Проверим утверждения:
$1)$ Неверно. Вес тела на Луне: $P_Л = m g_Л = m \cdot \dfrac{g_З}{6} .$
Вес на Земле: $P_З = m g_З .$
Таким образом, $P_Л = \dfrac{P_З}{6} ,$ то есть вес на Луне в $6$ раз меньше.
$2)$ Верно. Средняя плотность: $\rho = \dfrac{M}{V} = \dfrac{M}{\dfrac{4}{3} \pi R^3} .$
Тогда:
$\dfrac{\rho_З}{\rho_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^3$
Из формулы для ускорения свободного падения:
$\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^2 = 6$
Отсюда:
$\dfrac{M_З}{M_Л} = 6 \left( \dfrac{R_З}{R_Л} \right)^2 = 6 \cdot (3.7)^2$
Тогда:
$\dfrac{\rho_З}{\rho_Л} = 6 \cdot (3.7)^2 \cdot \left( \dfrac{1}{3.7} \right)^3 = 6 \cdot \dfrac{1}{3.7} \approx \dfrac{6}{3.7} \approx 1.62$
$3)$ Неверно. Дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту:
$L = \dfrac{v_0^2 \sin 2\alpha}{g}$
При одинаковых $v_0$ и $\alpha$:
$\dfrac{L_З}{L_Л} = \dfrac{g_Л}{g_З} = \dfrac{1}{6}$
То есть на Земле камень пролетит в $6$ раз меньшее расстояние, а не в $2$ раза.
$4)$ Верно. Для Земли:
$g_З = G \dfrac{M_З}{R_З^2}$
Подставим $g_З = 10 \, \text{м/с}^2$ (обычное приближение):
$R_З = \sqrt{\dfrac{G M_З}{g_З}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{10}} = \sqrt{4.002 \cdot 10^{13}} \approx 6.34 \cdot 10^6 \, \text{м} = 6\ 340 \, \text{км}$
$5)$ Верно. Из соотношения для ускорений:
$\dfrac{g_З}{g_Л} = \dfrac{M_З}{M_Л} \cdot \left( \dfrac{R_Л}{R_З} \right)^2 = 6$
Тогда:
$\dfrac{M_З}{M_Л} = 6 \left( \dfrac{R_З}{R_Л} \right)^2 = 6 \cdot (3.7)^2 = 6 \cdot 13.69 \approx 82.14$
То есть масса Луны примерно в $82$ раза меньше массы Земли.

Задание 5 ЕГЭ по физике

Анализ физических процессов. Кинематика, динамика, законы сохранения