Задание 2 ЕГЭ по математике профильной

Question

Длины векторов $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ равны $2\sqrt{3}$ и $5$, а угол между ними равен $30^\circ$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$.

Accepted Answer

Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| \cdot \cos \alpha,$
где $\alpha$ — угол между векторами.
Подставим значения:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 2\sqrt{3} \cdot 5 \cdot \cos 30^\circ.$
Так как $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 10\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot \dfrac{3}{2} = 15.$
Ответ: $15$.