Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием
$f = 30$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $20$ см до $40$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ см до $180$ см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким?

Accepted Answer

Из формулы линзы выразим $d_1$:
$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_2}.$
Так как $d_1$ должно быть минимальным, а $f = 30$ фиксировано, то $\dfrac{1}{d_1}$ должно быть максимальным. Это достигается при минимальном $\dfrac{1}{d_2}$, то есть при максимальном $d_2$.
Максимальное $d_2 = 180$ см.
Подставим:
$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{30} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{6}{180} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{5}{180} = \dfrac{1}{36}.$
Отсюда:
$d_1 = 36.$
Проверим, что $d_1 = 36$ см попадает в допустимый диапазон $[20; 40]$. Да, попадает.
Ответ: $36$ см.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Дробно-линейная зависимость