Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Question

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 36$ см. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от $30$ до $50$ см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от $160$ до $180$ см. Изображение будет чётким, если $\dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} = \dfrac{1}{f}.$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Accepted Answer

Из формулы линзы выразим $d_1$:
$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d_2}.$
Чтобы $d_1$ было минимальным, $\dfrac{1}{d_1}$ должно быть максимальным, то есть $\dfrac{1}{d_2}$ должно быть минимальным. Это достигается при максимальном $d_2$.
Максимальное $d_2 = 180$ см.
Подставим:
$\dfrac{1}{d_1} = \dfrac{1}{36} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{5}{180} - \dfrac{1}{180} = \dfrac{4}{180} = \dfrac{1}{45}.$
Отсюда:
$d_1 = 45.$
Проверим, что $45$ см попадает в допустимый диапазон $[30; 50]$.
Ответ: $45$ см.

Задание 10 ЕГЭ по математике профильной

Дробно-линейная зависимость