Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Да, пусть на доске было записано число $210$. Тогда при $C = 21$, а $B=10$ равенство будет выполняться 

б) Нет. Рассмотрим минимальное возможное значение $A=440$, тогда минимальные значения $B$ и $C$, которые могут получить Коля и Серёжа $40$. В таком случае $B\cdot C\geq 1600$. Рассмотрим $A$ большее $440$, тогда очевидно, что минимальные $B$ и $C$ остаются $40$, значит, оценка верна для всех $A$ удовлетворяющих условию задачи, следовательно, уравнение неверное.

в) Рассмотрим число $810$, если $B=81$, $C=10$, то условие выполняется. Оценим есть ли значения $B$ и $C$ при которых $A$ получается больше. Зафиксируем число: $\overline{8bc}$ Так как мы хотим получить число большее $810$, то $b\leq 1$. Если Коля или Серёжа вычёркивают $b$, то на доске остаётся число $\leq 80$, если вычёркивают $c$, то остаётся число $\leq 81$. Тогда произведение $B$ и $C\leq 6480$, не удовлетворяет условию. Если каждый из мальчиков вычёркивает $8$-ку, то на доске остаётся: $10<\overline{bc}\leq 99$. Для того чтобы число $A$ было максимальным $b$ - должно быть максимальным, оценим: $b=9, B\cdot C\geq 90\cdot 90=8100\\ b=8, B\cdot C\geq 80\cdot 80=6400\\ b=7, B\cdot C\geq 70\cdot 70=4900\\ b=6, B\cdot C\geq 60\cdot 60=3600\\ b=5, B\cdot C\geq 50\cdot 50=2500\\ b=4, B\cdot C\geq 40\cdot 40=1600\\ b=3, B\cdot C\geq 30\cdot 30=900$
Значит максимальное значение $b=2$, оценим равенство относительно с $c=9, B\cdot C\geq 29\cdot 29=841\\ c=8, B\cdot C\geq 28\cdot 28=784,$
заметим, что число уже меньше примера в начале пункта, значит, рассматривать $c<8$ не имеет смысла, так как квадраты чисел будут уменьшаться, значит, и рассматривать $b=1$ не имеет смысла.
С помощью оценки получили, что $A=810$ - наибольшее возможное.

Ответ: а) да, б) нет, в) 810