Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

а) Средняя масса трёх гирек равнялась 5 граммов, а после добавления четвертой стала равна 6 граммов. Значит, масса добавленной гирьки равна $4\cdot 6-3\cdot 5=9$ граммов, что невозможно, поскольку такая гирька уже есть в кучке.

б) Пусть в первой куче было $n$ гирек, а их средняя масса равнялась $a$ г. Тогда сумма масс всех гирей в ней равнялась $na$ г. После того, как из второй кучи в первую переложили гирьку массой $k$ г, в первой куче стало $n+1$ гирек, их средняя масса стала равна $a+1$ г, а сумма масс всех гирек в первой куче стала равна $na+k$ г. Таким образом,
$( n+1)( a+1) =na+k\leftrightarrow na+n+a+1=na+k\leftrightarrow a=k-n-1$
Следовательно, число $a$ целое и не может равняться 7,5.

в) Сумма масс $n$ гирек не меньше $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ следовательно, $a \geqslant \frac{n+1}{2}$
В первую кучу переложили гирьку массой $k=a+n+1$ (г).

Масса этой гирьки не превосходит 100 г, откуда получаем:
$100\geqslant k=a+n+1\geqslant \frac{n+1}{2} +n+1$
поэтому $\frac{3}{2}(n+1) \leqslant 100$ откуда $n\leqslant 65\frac{2}{3}$
Следовательно, наибольшее значение $n$ не превосходит 65. Покажем, что могло быть $65$ гирек. Если в первой куче лежало 65 гирек массой $1~г, 2~г, \dotsc , 65~г$, и к ним добавили гирьку массой $\frac{3}{2}(65+1) =99$ г, то средняя масса была равна 33 г, а стала равна 34 г. Таким образом, наибольшее число гирек в первой куче равно 65.
 
Ответ:  а) Нет; б) Нет; в) 65.