Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит $11$, а сумма которых больше $110$, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше $110$, но больше:
а) $99$;
б) $101$;
в) $100$.

Accepted Answer

а) Складываем числа с доски до тех пор, пока не будет больше 110, а потом убрать из набора последнее число. Так как сумма чисел получится больше 110, а каждое число не более 11, то сумма чисел без последнего числа всегда будет больше 99.
б) Возьмём число 10,1 – 11 раз, сумма их равна 111,1 > 110, если мы возьмём 10 раз по 10,1, то получим 101, а оно не больше 101. Значит, не всегда, следовательно, нет.
в) Складываем числа до тех пор, пока не будет больше 110. Если среди них есть число меньше или равно 10, то убираем его, если таких нет, то все числа будут находиться в промежутке от 10 до 11. И нужно взять 10 таких чисел, чтобы было больше 100 и меньше 110.
Ответ: а) да, б) нет, в) да.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел