Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-32$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $8$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли количество синих карт быть равным $1$?
б) Может ли количество синих карт быть равным $40$?
в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

Accepted Answer

Обозначим числа синих и красных карт через $B$ и $R$. Максимум на синей карте равен $R$, поэтому $R=5v$. Максимум на красной карте равен $3B$ и делится на $8$, поэтому $B=8u$.
Красных допустимых кратных $8$ в интервале $(-32;3B]$ не больше $3u+4$, а синих кратных $5$ в $(-32;R]$ не больше $v+7$. Значит, $5v\le3u+4$ и $8u\le v+7$.
Из $v\ge8u-7$ получаем $40u-35\le3u+4$, то есть $u\le1$. При $u=1$ имеем $v=1$. Единственная возможная пара количеств — $(B,R)=(8,5)$.
Ответ:
а) нет;
б) нет;
в) $8$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи