Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $5$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-40$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $30$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Accepted Answer

Пусть $B$ — число синих, $R$ — число красных карт. Максимум на синей карте равен $R$, значит $R=5v$.
Красных чётных чисел в $(-40;2B]$ не больше $B+20$, а синих кратных $5$ в $(-40;R]$ не больше $v+8$. Поэтому $5v\le B+20$, $B\le v+8$.
Так как $v\ge B-8$, получаем $5B-40\le B+20$, откуда $B\le15$. Равенство достигается при $B=15,R=35$. Пара $B=1,R=5$ допустима, а $B=30$ — нет.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $15$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи