Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-60$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно три красных карточки?
б) Может ли на столе лежать ровно $150$ красных карточек?
в) Какое наибольшее количество красных карточек может лежать на столе?

Accepted Answer

Пусть $B$ — число синих, $R$ — красных карт. Максимум на синей карте равен $R$ и делится на $3$, поэтому $R=3v$.
Красных чётных чисел в $(-60;2B]$ не больше $B+30$, а синих кратных $3$ в $(-60;R]$ не больше $v+20$. Значит, $3v\le B+30$, $B\le v+20$.
Отсюда $3v\le2v+50$, поэтому $v\le25$ и $R\le75$. Равенство достигается при $B=45,R=75$. Значение $R=3$ возможно, $R=150$ — нет.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $75$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи