Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше
$-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно одна синяя карточка?
б) Может ли на столе лежать ровно $50$ синих карточек?
в) Какое наибольшее количество синих карточек может лежать на столе?

Accepted Answer

Пусть $B$ и $R$ — количества синих и красных карт, $R=3v$. Из числа допустимых значений получаем $3v\le B+36$ и $B\le v+24$.
Следовательно, $3v\le2v+60$, то есть $v\le30$, а $B\le54$. Пара $(B,R)=(54,90)$ даёт максимум.
Для $B=1$ можно взять $R=3$. Для $B=50$ подходит $R=78$: $78\le50+36$ и $50\le26+24$.
Ответ:
а) да;
б) да;
в) $54$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи