Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит $N$ монет по $2$ рубля и $800-N$ по $5$ рублей. $N$ может принимать значения от $1$ до $799$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма будет составлять не меньше четверти от общей суммы.
а) Может ли $N$ равняться $200$?
б) Может ли $N$ равняться $400$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Accepted Answer

Общая сумма равна $4000-3N$. Рассмотрим $300$ самых дешёвых монет.
При $N\ge300$: $600\ge\dfrac{4000-3N}{4}$, поэтому $N\ge534$.
При $N<300$: $1500-3N\ge\dfrac{4000-3N}{4}$, поэтому $N\le222$.
Получаем $N=1,\ldots,222$ или $N=534,\ldots,799$, всего $222+266=488$ значений. Поэтому $200$ возможно, а $400$ — нет.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $488$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи