Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $4$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $5$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $5$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $5$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $224$ меньше суммы получившихся чисел?
б) Может ли количество чисел на доске равняться $30$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше $1801$?

Accepted Answer

Первая операция изменяет число на $+35$, вторая — на $-45$. Поэтому изменение суммы равно $35x-45y$.
а) Оно кратно $5$, поэтому $224$ невозможно.
б) При равенстве сумм $35x=45y$, то есть $x=9t,y=7t$. Количество чисел равно $16t$, поэтому $30$ невозможно.
в) Минимальные исходные числа для двух операций — $15$ и $60$. Один блок из $16$ чисел имеет сумму не меньше $9\cdot15+7\cdot60=555$. Три блока дают $1665<1801$, четыре — не меньше $2220$. Значит, максимум равен $3\cdot16=48$.
Ответ:
а) нет;
б) нет;
в) $48$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи