Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит $N$ монет по $5$ рублей и $1000-N$ по $2$ рубля. $N$ принимает значения от $1$ до $999$. Известно, что если взять любые $300$ монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.
а) Может ли $N$ равняться $100$?
б) Может ли $N$ равняться $500$?
в) Сколько различных значений может принимать $N$?

Accepted Answer

Общая сумма равна $2000+3N$. Самые дешёвые монеты — двухрублёвые.
Если $N\le700$, можно взять $300$ двухрублёвых монет: $600\ge\dfrac{2000+3N}{4}$, откуда $N\le133$.
Если $N>700$, в минимальном наборе все $1000-N$ двухрублёвых монет и ещё $N-700$ пятирублёвых. Его сумма $3N-1500$, поэтому $3N-1500\ge\dfrac{2000+3N}{4}$, откуда $N\ge889$.
Итак, подходят $1\le N\le133$ и $889\le N\le999$, всего $244$ значения.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $244$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи