Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на $3$, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше $-72$. Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно четыре карточки?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на $60$ больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?

Accepted Answer

Пусть $B$ и $R$ — количества синих и красных карт, $R=3v$. Как и в условии, число допустимых значений даёт $3v\le B+36$ и $B\le v+24$.
Отсюда $v\le30$, $R\le90$, $B\le54$, поэтому $B+R\le144$. Равенство достигается при $(B,R)=(54,90)$.
Для четырёх карт подходит $(B,R)=(1,3)$. Кроме того, $R-B\le36$, поэтому разность $60$ невозможна.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $144$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи