Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее $-60$. При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на $5$, а на всех красных – на $3$. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.
а) Может ли общее количество карт быть равным $6$?
б) Может ли количество красных карт быть больше количества синих карт на $30$ штук?
в) Какое наибольшее количество всех карт может быть на столе?

Accepted Answer

Пусть $B$ и $R$ — количества синих и красных карт. Максимум на синей карте равен $R$, значит $R=5v$.
Красных кратных $3$ в $(-60;3B]$ не больше $B+20$, синих кратных $5$ в $(-60;R]$ не больше $v+12$. Поэтому $5v\le B+20$, $B\le v+12$.
Следовательно, $5v\le v+32$, то есть $v\le8$, но совместно точнее: $B\ge5v-20$ и $B\le v+12$, откуда $4v\le32$, $v\le8$. Значит, $R\le40$, $B\le20$, $B+R\le60$. Пара $(20,40)$ допустима. Для $6$ карт подходит $(1,5)$, а $R-B\le20$, поэтому разность $30$ невозможна.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $60$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи