Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

В продуктовом магазине есть весы с двумя чашами. На одну чашу весов кладут только продукты, на другую — гири. На чашу для гирь можно положить несколько гирь. Магазину разрешено продавать только целое число килограммов продуктов.
а) Можно ли некоторым набором из пяти гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
б) Можно ли некоторым набором из четырех гирь отвесить любое целое число килограммов от $1$ до $25$?
в) Найдите наибольшее значение $n$ такое, что любой вес от $1$ до $n$ килограммов можно отвесить каким-нибудь набором из пяти гирь.

Accepted Answer

Пусть гири упорядочены: $w_1\le\ldots\le w_m$. Чтобы без пропусков получать все веса от $1$ до суммы гирь, необходимо и достаточно $w_1=1$ и $w_i\le1+w_1+\ldots+w_{i-1}$.
Максимальная покрываемая сумма при $m$ гирях получается для $1,2,4,\ldots,2^{m-1}$ и равна $2^m-1$.
Для пяти гирь это $31$, поэтому $1$–$25$ отвесить можно. Для четырёх гирь максимум $15$, поэтому $25$ гарантировать нельзя.
Ответ:
а) да; б) нет; в) $31$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи