Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста — доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа $9{,}3$, $10{,}5$ и $12{,}7$ округляются до $9$, $11$ и $13$ соответственно.
а) Всего проголосовало $13$ посетителей сайта. Голоса распределились так, что рейтинг некоторого футболиста стал равным $31$. Затем Вася проголосовал за этого футболиста. Каков теперь рейтинг футболиста с учётом голоса Васи?
б) Голоса распределяют между двумя футболистами. Может ли суммарный рейтинг быть больше $100$?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен $7$. После того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста, рейтинг стал равен $9$. При каком наибольшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

Accepted Answer

а) Рейтинг $31$ при $13$ голосах означает $4$ голоса: $\dfrac{4}{13}\cdot100\%\approx30{,}77\%$. После голоса Васи получаем $\dfrac{5}{14}\cdot100\%\approx35{,}71\%$, то есть рейтинг $36$.
б) Да. При распределении $1$ и $7$ голосов рейтинги равны $13$ и $88$, их сумма $101$.
в) Пусть после голоса Васи всего $n$ голосов, до него за футболиста было $k$. Тогда $6{,}5\le\dfrac{100k}{n-1}<7{,}5$ и $8{,}5\le\dfrac{100(k+1)}{n}<9{,}5$. Из этих неравенств следует $n\le92$. При $83\le n\le92$ первое условие вынуждает $k=6$, но тогда второе требует $\dfrac{700}{n}\ge8{,}5$, то есть $n\le82$. При $n=82,k=6$: $\dfrac{6}{81}$ округляется до $7\%$, а $\dfrac{7}{82}$ — до $9\%$.
Ответ:
а) $36$;
б) да;
в) $82$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи