Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $9$, то вычеркнуть из числа цифру $9$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $47$ число $2$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $7$ число $77$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2015$, может быть записано на доске, если $N=1$.

Accepted Answer

Все три операции сохраняют остаток числа при делении на $3$: $4\equiv1\pmod3$, $12\equiv0\pmod3$, а удаление цифры $9$ не меняет сумму цифр по модулю $3$.
а) $47\to59\to5\to17\to29\to2$.
б) $7\equiv1\pmod3$, а $77\equiv2\pmod3$, поэтому получить $77$ нельзя.
в) Из $1$ операциями $+12$ и умножением на $4$ получаются базовые остатки $1$ и $4$ по модулю $12$. Кроме того, $97\to7$ и $109\to10$ удалением цифры $9$. После этого прибавлением $12$ получаем все положительные числа, сравнимые с $1$ по модулю $3$. Меньше $2015$ их $1,4,\ldots,2014$, всего $672$.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $672$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел