Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На доске записано некоторое натуральное число $N$. Учитель по очереди вызывает учеников, которые выполняют с любым из уже записанных на доске чисел одно из следующих действий:
– умножить число на $4$;
– прибавить к числу $12$;
– если число не равно $6$, то вычеркнуть из числа цифру $6$. Затем каждый из учеников записывает новое число на доску.
а) Можно ли за несколько действий получить из числа $34$ число $1$?
б) Можно ли за несколько действий получить из числа $35$ число $60$?
в) Какое наибольшее количество чисел, меньших $2000$, может быть записано на доске, если $N=1$.

Accepted Answer

Все операции сохраняют остаток по модулю $3$: $4\equiv1\pmod3$, $12\equiv0\pmod3$, а удаление цифры $6$ не меняет сумму цифр по модулю $3$.
а) $34\to46\to4\to16\to1$.
б) $35\equiv2\pmod3$, а $60\equiv0\pmod3$, поэтому это невозможно.
в) Из $1$ получаются все числа с остатками $1$ и $4$ по модулю $12$. Число $76$ достижимо и после удаления $6$ даёт $7$; число $160$ достижимо и даёт $10$. Прибавляя $12$, получаем все числа $\equiv1\pmod3$. Меньше $2000$ это $1,4,\ldots,1999$, всего $667$.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $667$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел