Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На доске написано $30$ чисел: десять «$5$», десять «$4$» и десять «$3$». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно $A$, среднее арифметическое чисел во второй группе равно $B$. При этом для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.
а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше $\dfrac{A+B}{2}$.
б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по $15$ чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно $\dfrac{A+B}{2}$
в) Найдите наибольшее возможное значение выражения $\dfrac{A+B}{2}$.

Accepted Answer

Среднее всех $30$ чисел равно $4$, их сумма равна $120$.
а) Выделим в первую группу одно число $5$. Тогда $A=5$, $B=\dfrac{115}{29}$, и $\dfrac{A+B}{2}=\dfrac{130}{29}>4$.
б) При группах по $15$ чисел $4=\dfrac{15A+15B}{30}=\dfrac{A+B}{2}$.
в) Пусть меньшая группа с большим средним содержит $m\le15$ чисел. При фиксированном $m$ выражение увеличивается с ростом этого среднего, поэтому берём $A=5$. Тогда $B=\dfrac{120-5m}{30-m}$, и $\dfrac{A+B}{2}$ убывает при росте $m$. Максимум при $m=1$: $\dfrac{130}{29}$.
Ответ:
а) например, одна группа — одно число $5$;
б) $4$;
в) $\dfrac{130}{29}$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел