Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Из первых $22$ натуральных чисел $1$, $2$, $\ldots$, $22$ выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали суммы чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят $27$.
а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равняется $170$ и в каждой паре одно из чисел ровно в трираза больше другого?
б) Может ли число $k$ быть равным $11$?
в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.

Accepted Answer

а) Если в каждой паре одно число втрое больше другого, сумма каждой пары кратна $4$. Тогда сумма всех выбранных чисел кратна $4$, а $170$ не кратно $4$.
б) При $k=11$ выбраны все числа от $1$ до $22$, их сумма $253$. Но сумма $11$ различных парных сумм, не превосходящих $27$, не больше $17+18+\ldots+27=242$. Противоречие.
в) Значит, $k\le10$. Значение $10$ достигается, например, парами $(1,21),(2,18),(3,20),(4,17),(5,13),(6,8),(7,10),(9,15),(11,16),(12,14)$. Их суммы различны и не превосходят $27$.
Ответ:
а) нет;
б) нет;
в) $10$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Операции с числами и цифрами