Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Саша берёт пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции. Сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое полученного результата и четвёртого числа, потом среднее арифметическое полученного результата и пятого числа — число $A$.
а) Может ли число $A$ равняться среднему арифметическому пяти чисел, выбранных изначально?
б) Может ли число $A$ быть в пять раз больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?
в) В какое наибольшее целое число раз число $A$ может быть больше среднего арифметического пяти чисел, выбранных изначально?

Accepted Answer

После всех усреднений
$A=\dfrac{x_1}{16}+\dfrac{x_2}{16}+\dfrac{x_3}{8}+\dfrac{x_4}{4}+\dfrac{x_5}{2}$.
а) Для чисел $1,3,4,5,2$ последовательные средние равны $2,3,4,3$, а обычное среднее пяти чисел также равно $3$.
б) Каждый коэффициент в формуле для $A$ не превосходит $\dfrac12$, поэтому $A<\dfrac12(x_1+\ldots+x_5)$. Обычное среднее равно $\dfrac{x_1+\ldots+x_5}{5}$, следовательно, отношение меньше $\dfrac52$, и значение $5$ невозможно.
в) Целое отношение не превосходит $2$. Для чисел $1,3,2,4,25$ получаем $A=14$, обычное среднее $7$, то есть отношение $2$.
Ответ:
а) да;
б) нет;
в) $2$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел