Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр (например, из числа $194$ получается число $1109134$).
а) Приведите пример числа, из которого получается число $411781109$.
б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число $210811495$?
в) Какое наибольшее число, кратное $9$, может получиться из трехзначного числа, в десятичной записи которого нет девяток?

Accepted Answer

а) Из $4719$ получается $4,11,7,8,1,10,9$, то есть $411781109$.
б) В записи результата между соседними исходными цифрами обязательно стоит их сумма. Разбор $210811495$ по этому правилу приводит к противоречию, поэтому исходного числа нет.
в) Пусть исходное трёхзначное число — $abc$, причём $a,b,c\le8$. Сумма цифр результата по модулю $9$ эквивалентна $2a+3b+2c\equiv0\pmod9$. Для максимального результата берём $a=b=8$; тогда наибольшее допустимое $c$ равно $7$. Получается $887\to8168157$, и это число кратно $9$.
Ответ:
а) $4719$;
б) нет;
в) $8168157$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Операции с числами и цифрами