Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Последовательность $a_1$,$a_2$, $\ldots$, $a_n$, где $n \ge 3$, состоит из натуральных чисел. При этом каждый член последовательности, кроме первого и последнего, больше среднего арифметического соседних с ним членов.
а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна $60$.
б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?
в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при $n=8$?

Accepted Answer

Обозначим $d_i=a_{i+1}-a_i$. Условие задачи равносильно $d_1>d_2>\ldots>d_{n-1}$, причём все $d_i$ целые.
а) Последовательность $8,11,13,14,14$ имеет разности $3,2,1,0$ и сумму $60$.
б) Этот же пример содержит два одинаковых числа $14$.
в) Для $8$ членов семь разностей должны быть строго убывающими целыми. Минимальная положительная последовательность получается для разностей $3,2,1,0,-1,-2,-3$ и начального члена $1$: $1,4,6,7,7,6,4,1$. Сумма равна $36$; любое уменьшение разностей нарушило бы положительность одного из концов, поэтому меньше нельзя.
Ответ:
а) например, $8,11,13,14,14$;
б) да;
в) $36$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Числовые наборы