Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

На доске написаны числа $2$ и $3$. За один ход из чисел $a$ и $b$ можно получить числа $a+b$ и $2a-1$ или числа $a+b$ и $2b-1$. Например, из чисел $2$ и $3$ можно получить числа $5$ и $3$ или числа $5$ и $5$.
а) Приведите пример последовательности ходов, после которых одно из чисел на доске окажется равным $19$.
б) Может ли после $100$ ходов одно из двух чисел на доске оказаться равным $200$?
в) Сделали $1007$ ходов, причем на доске не было равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из двух полученных чисел?

Accepted Answer

а) Последовательность ходов $(2,3)\to(5,5)\to(10,9)\to(19,19)$ даёт число $19$.
б) Пусть $m$ — меньшее из двух чисел. После каждого хода новое меньшее число не меньше $2m-1$. Начиная с $m=2$, $m_t\ge2^t+1$, $m_8\ge257$. Уже через несколько ходов оба числа превосходят $200$, поэтому после $100$ ходов число $200$ появиться не может.
в) Пусть $d$ — модуль разности двух чисел. За ход он меняется на $1$: получается $d-1$ или $d+1$. Изначально $d=1$, поэтому после нечётного числа $1007$ ходов $d$ чётно. Равенство $d=0$ запрещено условием, значит $d\ge2$. Можно чередовать разности $1$ и $2$, каждый раз выбирая соответствующий вариант операции, поэтому минимум $2$ достигается.
Ответ:
а) $(2,3)\to(5,5)\to(10,9)\to(19,19)$;
б) нет;
в) $2$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Операции с числами и цифрами