Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Ученики некоторой школы написали тест. Результатом каждого участника стало целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее $83$ баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по $5$ баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл не сдавших тест учеников понизился и средний балл сдавших тестучеников понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил $90$, средний балл сдавших тест учеников составил $100$, а средний балл не сдавших тест учеников составил $75$. После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен $103$, а не сдавших — $79$. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Accepted Answer

а) Два ученика с баллами $0$ и $82$ сначала оба не сдали тест, их средний балл $41$. После добавления $5$ баллов остаётся один не сдавший с баллом $5$, среднее уменьшается.
б) Для баллов $0,82,100$ средние не сдавших и сдавших равны $41$ и $100$. После добавления получаем группы $5$ и $87,105$, средние $5$ и $96$: оба уменьшились.
в) Пусть первоначально сдали $p$ человек, не сдали $q$. Из $100p+75q=90(p+q)$ получаем $p=3t,q=2t$. Пусть $r$ человек после добавления перешли в сдавшие. Оставшиеся не сдавшие до добавления имели среднее $74$, поэтому сумма баллов перешедших равна $q+74r$. Для новой средней сдавших: $105p+q+79r=103(p+r)$. Отсюда $2p+q=24r$, то есть $8t=24r$, $t=3r$. Минимум при $r=1$: всего $p+q=15$ человек. Пример: $9$ сдавших по $100$, пять не сдавших по $74$ и один с $80$.
Ответ:
а) да;
б) да;
в) $15$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Операции с числами и цифрами