Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Несколько камней, каждый из которых весит не менее $100$ г, разложили в три кучки. В первой кучке оказалось $n_1$ камней с суммарным весом $S_1$ , во второй — $n_2$ камней с суммарным весом $S_2$ , а в третьей — $n_3$ камней с суммарным весом $S_3$ . Оказалось так, что $n_1<n_2<n_3$ .
а) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$ ?
б) Могло ли так случиться, что $S_1>S_2>S_3$ , а вес каждого камня не превышает $105$ грамм?
в) Вес каждого камня не более $k$ грамм. При каком минимальном целом $k$ могло оказаться, что $S_1>S_2>S_3$ ?

Accepted Answer

а) Например, в кучках $1,2,3$ камня можно взять суммарные массы $1000,400,300$ г соответственно.
б) Возьмём $n_1=41,n_2=42,n_3=43$ и суммы $S_1=4302,S_2=4301,S_3=4300$. Это реализуемо весами от $100$ до $105$ г: в первой кучке, например, сорок камней по $105$ г и один $102$ г; во второй — двадцать по $105$ г, один $101$ г и остальные по $100$ г; в третьей все по $100$ г.
в) Так как $n_3\ge n_1+2$, имеем $S_3\ge100(n_1+2)$. Из двух строгих неравенств следует $S_1\ge S_3+2$, поэтому $kn_1\ge100n_1+202$. При $k=100$ это невозможно, значит $k\ge101$. Для $k=101$ возьмём $n_1=202,n_2=203,n_3=204$, $S_1=20402,S_2=20401,S_3=20400$; эти суммы реализуются весами $100$ и $101$ г. Значит, минимум $101$.
Ответ:
а) да;
б) да;
в) $101$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Разные задачи