Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Question

Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку — целое число баллов от $0$ до $12$ включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.
а) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{25}$?
б) Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться $\dfrac{1}{35}$?
в) Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Accepted Answer

Пусть старый рейтинг $A=\dfrac{m}{7}$, новый $B=\dfrac{n}{5}$. Тогда $A-B=\dfrac{5m-7n}{35}$.
а) Равенство $\dfrac{5m-7n}{35}=\dfrac1{25}$ невозможно, потому что левая часть после умножения на $35$ — целое число, а правая даёт $\dfrac{7}{5}$.
б) Оценки $0,1,2,4,7,8,9$ дают $A=\dfrac{31}{7}$, $B=\dfrac{22}{5}$, разность $\dfrac1{35}$.
в) Пусть оценки упорядочены $x<\ldots<z$, а сумма пяти средних равна $y$. Тогда $A-B=\dfrac{5x-2y+5z}{35}$. Из различности оценок $y\ge5x+15$, а $z\le12$. Поэтому $A-B\le\dfrac{30-5x}{35}\le\dfrac67$. Равенство достигается для $0,1,2,3,4,5,12$.
Ответ:
а) нет;
б) да;
в) $\dfrac67$.

Задание 20 ЕГЭ по математике профильной

Среднее арифметическое и наборы чисел