Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Question

В правильной четырехугольной пирамиде $𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷$ сторона основания $𝐴𝐵$ равна $4$, а боковое ребро $𝑆𝐴=8$. На ребрах $𝐶𝐷$ и $𝑆𝐶$ отмечены точки $𝑁$ и $𝐾$ соответственно, причем $𝐷𝑁:𝑁𝐶=𝑆𝐾:𝐾𝐶=1:3$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $𝐾𝑁$ и параллельна прямой $𝐵𝐶$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $𝐴𝐵$ в отношении $1:3$, считая от вершины $𝐴$.
б) Найдите расстояние между прямыми $𝑆𝐴$ и $𝐾𝑁$.

Accepted Answer

а) Построим сечение:

$\alpha \parallel BC \Rightarrow$ проведем в $(ABC)$ прямую $MN \parallel BC$.
Аналогично проведем $KL$ в $(BSC)$

Тогда $MLKN \ -$ искомое сечение плоскостью $\alpha$ $MN||BC, \frac{BM}{MA}=\frac{CN}{ND}=\frac{3}{1}~(теорема~о~пропорциональных~отрезках), Ч.Т.Д.$

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми - это расстояние от прямой до плоскости, которая ей параллельна и содержит другую прямую. $d(AS;MLKN ) \ - \ искомое,\ AS||ML\Rightarrow AS||MLKN\ KN\in MLKN\ F-середина~LK,E-середина~MN, T-середина~AD,U-середина~BC\ ST=SU=2\sqrt{15}$

Так как $ST||EF\Rightarrow \ d( S;EF) =$ расстояние от любой точки $ST$ до $EF$, то $UH\perp ST, R=UH\cap FE, HR=\frac{1}{4}UH, \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{15}\cdot UH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{14}\cdot 4\ UH=\frac{4\sqrt{14}}{\sqrt{15}}\ HR=\sqrt{\frac{14}{15}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{14}{15}}$

Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

Пирамида (2 часть)