Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) 

$LK\in ABS\\ LK||MN\\ MN||ABS\\ MN\in SDC$
Из всего этого следует, что

$LK||MN||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB\\ AB\in ABS\\ DC||AB\\ DC||ABS\\ DC\in SDC$
Из всего этого следует, что $AB||DC||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB$
Из всего вышесказанного: 
$LK||MN||AB||DC||общей~прямой~плоскостей~SDC~и~SAB$
Треугольники $SLK$ и $SAB$ подобны по двум углам (угол $S$ общий, углы $SLK$ и $SAB$ равны как соответственные): 
$\frac{LK}{AB}=\frac{SK}{SB}=\frac{3}{4}$
Значит, $AB=4=DC=2MN$.
И еще $MN||DC$, а значит, что $MN$ – средняя линия, пересекает стороны $SD$ и $SC$ в их серединах.

б) 

Из подобия треугольников $SLK$ и $SAB$:
$AB=4\\ BC=\frac{S_{основания}}{AB}=\frac{24}{4}=6=TR$
Пусть $PE$ пересекает $TR$ в точке $D_1$.

По теореме Менелая для $STR$ и секущей $PE$:
$\frac{SE}{ER}\cdot\frac{RD_1}{DT}\cdot\frac{TP}{PS}=1\\ 1\cdot\frac{RD_1}{DT}\cdot\frac{1}{3}=1\\ \frac{RD_1}{DT}=\frac{3}{1}$
Отсюда $D_1T=3$. 
Пусть $EW\bot TR$ и $PQ\bot TR$
$\begin{cases} EW||SH\\ SE=ER \end{cases} \Rightarrow EW-средняя~линия~и~WH=WR=\frac{TR}{4}=\frac{3}{2}\\ \frac{TP}{TS}=\frac{1}{4}=\frac{TQ}{TH},TH=\frac{3}{4}\\ D_1Q=3+\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\\ QR=HR+HQ=\frac{6}{2}+\frac{6}{2}-\frac{3}{4}=\frac{15}{4}\\ \Delta D_1PQ\sim\Delta D_1EW~по~двум~углам~(\angle{D_1}~общий, \angle{D_1QP}=\angle{D_1WE}= {90}^{\circ})\\ \frac{D_1P}{PE}=\frac{D_1Q}{QM}=\frac{15}{4}:\frac{15}{4}=\frac{1}{1}$
По теореме Пифагора для $\triangle{EWD_1}$: 
$EW^2=D_1E^2-D_1W^2=(4+4)^2-\left(9-\frac{3}{2}\right)^2=\frac{31}{4}\\ EW=\frac{\sqrt{31}}{2}\\ SH=2EW=\sqrt{31}$

Ответ: $\sqrt{31}$