Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а)

Так как при пересечении параллельных плоскостей третьей плоскостью прямые, по которым пересекаются плоскости параллельны, следовательно, проведем в плоскости ($BB_1C_1$) отрезок $CL||KM$, причем точка $L$ лежит на отрезке $BB_1$.
Соединим точки $M$ и $L$, получим параллелограмм. По свойству параллелограмма $MK=CL$.
В двух параллельных плоскостях получим равные треугольники $CBL$ и $MD_1K$, так как:
1) Углы $LBC$ и $KD_1M$ равны $90^\circ$
2) $MD_1=BC=4$
3) $MK=CL$
 
Значит, $D_1K=LB=KD=LB_1$ (так как точка $K$ – центр $DD_1$ по условию) 
Значит, получаем прямоугольник $LBDK$, в котором $LK||BD$. 
Так как отрезок $LK$ принадлежит ($MCK$), значит $BD$ будет параллельна всей плоскости ($MCK$).

б)

Заметим, что $MKCL$  — параллелограмм с прямым углом, следовательно, $MKCL$ — прямоугольник. Угол между плоскостью $MCK$ и плоскостью $ABCD$ будем искать c помощью площади проекции. Проекция прямоугольника $MKCL$ на плоскость основания это параллелограмм $BNDC$:
$\cos\alpha=\frac{S_{LMKC}}{S_{BNDC}}=\frac{4\cdot 1\cdot\sin 60^\circ}{MK\cdot KC}$
Пусть $D_1K=x$, $KD=x$
По теореме Пифагора:
$MC^2=MN^2+NC^2=4x^2+13\\ MC^2=MK^2+KC^2=16+x^2+x^2+1=17+2x^2$
Приравняем правые части уравнений: 
$17+2x^2=4x^2+13\\ x=\sqrt{2}$
По теореме косинусов для треугольника $NDC$:
$NC^2=ND^2+DC^2-2ND\cdot DC\cdot\cos 60^\circ=16+1-2\cdot 4\cdot 1\cdot 0,5=13$
Если то треугольник $B_1A_1M$ — равносторонний, $A_1B_1=C_1D_1=CD=A_1M=1$. Найдем длину $BD$: 
По теореме Пифагора:
$MK^2=MD_1^2+D_1K^2;MK^2=16+x^2=18,MK=\sqrt{18}$
Аналогично $CK=\sqrt{3}$.
Тогда: 
$\cos\alpha=\frac{4\cdot 1\cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{18}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$
Из основного тригонометрического тождества:
$\sin\alpha=\frac{\sqrt{7}}{3}$
Тогда:
$tg\alpha=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{2}$