Задание 15 ЕГЭ по математике профильной

а) Пусть $CF$, $AK$, $C_1F_1$, $A_1K_1$ -- медианы треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно.
Так как треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ правильные по условию, то $CF$, $AK$, $C_1F_1$, $A_1K_1$ -- еще биссектрисы и высоты, поэтому точки их пересечения -- центры окружностей $O$ и $O_1$ соответственно, так как центры окружностей, описанных около правильных треугольников, совпадает с точкой пересечения его медиан.
Так как точка $O$ -- точка пересечения медиан, то:
$\frac{OK}{AO}=\frac{FO}{OC}=\frac{1}{2}$
Так как призма прямая, то $OO_1$ перпендикулярна плоскостям верхнего и нижнего оснований ($ABC$) и ($A_1B_1C_1$)
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} OO_{1} \bot ( ABC)\\ CC_{1} \bot ( ABC) \end{array} \right. \Rightarrow OO_{1} ||CC_{1} \\ \displaystyle \begin{cases} MC\text{-общая}\\ \angle MCB=\angle MCA=90\\ AC=CB=8 \end{cases} \Rightarrow \Delta AMC=\Delta BMC\ \text{по двум сторонам и углу между ними} \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow MB=MA\Rightarrow \Delta AMB\ \text{равнобедренный} \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} AF=FB\ (\text{так как}\ CF\text{-медиана})\\ \triangle AMB\ \text{равнобедренный} \end{array} \right. \Rightarrow MF\text{-медиана, высота и биссектриса} \end{array}$
Пусть $FM\cap OO_1=P$. Прямые однозначно пересекаются, так как обе лежат в плоскости $FCC_1$
$OP||CM$ (так как $OO_1||CC_1$) $\Rightarrow$ по теореме Фалеса:
$\frac{FO}{OC}=\frac{FP}{PM}=\frac{1}{2}$
Получается, точка $P$ -- точка пересечения медиан треугольника $AMB$, так как медиана $MF$ делится точкой $P$ в отношении $2:1$, считая от вершины $\Rightarrow P\in OO_1$.
б) Пусть $A_1H$ перпендикуляр из точки $A_1$ к плоскости ($ABM$)
$A_1H$ -- искомое расстояние и высота в пирамиде $A_1ABM$
$V_{A_1ABM}=\frac{1}{3}A_1H\cdot S_{ABM}$
Из треугольника $BMC$ по теореме Пифагора:
$BM^2=MC^2+BC^2=1+8^2=65\\ BM=\sqrt{65}$
Из треугольника $BFC$ по теореме Пифагора:
$CF^2=BC^2-BF^2=8^2-4^2=48\\ CF=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
Из треугольника $MBF$ по теореме Пифагора:
$MF^2=MB^2-BF^2=65-4^2=49\\ MF=7\\ S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot MF\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 8=28\\ V_{A_1ABM}=\frac{1}{3}A_1H\cdot 28=\frac{28}{3}\cdot A_1H\\ A_1H=\frac{3}{28}V_{A_1ABM}\\ V_{CABM}=\frac{1}{3}MC\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot MC\cdot\frac{1}{2}\cdot CF\cdot AB=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8=\frac{16\sqrt{3}}{3}$
По свойству прямой призмы ($A_1B_1C_1$)$\bot$($CBB_1$)
$\displaystyle \begin{array}{l} \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{l} A_{1} K_{1} \bot B_{1} C_{1}\\ ( A_{1} B_{1} C_{1}) \bot ( CBB_{1})\\ ( A_{1} B_{1} C_{1}) \cap ( CBB_{1}) =B_{1} C_{1} \end{array} \right. \Rightarrow A_{1} K_{1} \bot ( CBB_{1}) \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow A_{1} K_{1}\text{-высота пирамиды}\ A_{1} B_{1} C_{1} MB \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ V_{A_{1} B_{1} C_{1} MB} =\frac{1}{3} A_{1} K_{1} \cdot S_{MBB_{1} C_{1}} \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ MMB_{1} C_{1}\text{-прямоугольная трапеция,}\ S_{MBB_{1} C_{1}} =\frac{1}{2}( C_{1} M+BB_{1}) \cdot B_{1} C_{1} \\ \displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2} \cdot ( 7+6) \cdot 8=52 \end{array}$
По свойству прямой правильной призмы треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, следовательно, все медианы/высоты и биссектрисы этих треугольников равны между собой, следовательно, $A_1K_1=CF=4\sqrt{3}$
$V_{A_1B_1C_1MB}=\frac{1}{3}A_1K_1\cdot 52=\frac{1}{3}\cdot 4\sqrt{3}\cdot52=\frac{208\sqrt{3}}{3}\\ V_{\text{всей призмы}}=AA_1\cdot S_{ABC}=AA_1\cdot\frac{1}{2}\cdot CF\cdot AB=7\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 8=112\sqrt{3}\\ V_{A_1ABM}=V_{\text{всей призмы}}-V_{CABM}-V_{A_1B_1C_1CB}=112\sqrt{3}-\frac{16\sqrt{3}}{3}-\frac{208\sqrt{3}}{3}=\frac{112\sqrt{3}}{3}\\ A_1H=\frac{3}{28}V_{A_1ABM}=\frac{3}{28}\cdot\frac{112\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$
Ответ: $4\sqrt{3}$